Las Fracciones y los números decimales

 

 

Algo de historia

 

 

El sencillo concepto de fracción que hoy utilizamos ha sorteado grandes dificultades a lo largo de 30 años hasta llegar a la noción actual. Las fracciones se llamaron en un principio “rotos” y después “ quebrados”, esta última designación todavía subsiste; pero el concepto general tardó mucho tiempo en arraigarse, limitándose a nombres especiales para cada fracción de uso frecuente.

La nomenclatura general, mediante la terminación genérica avos, agregada al denominador es muy reciente, lo que revela la incapacidad de la humanidad sin diferenciar raza y cultura, para alcanzar los conceptos  muy generales y, por lo tanto, muy abstractos; los mismos que una vez asimilados seducen por su sencillez.

 

Los aportes de los egipcios

 

Un papiro encontrado hace mucho tiempo, llamado papiro Rhind, es tal vez uno de los documentos más antiguos que se conoce, pues tiene cerca de 4000 años. Su autor, Ahmes,  fue un sacerdote que vivió probablemente entre los años – 2000 y – 1700 a.c..En este documento se menciona la costumbre egipcia de expresar toda fracción en una suma de fracciones de numerador uno. De esta forma, aparece la fracción ¾ escrita como; ½ ; ¼ .

Es evidente que los egipcios sólo sabían operar con fracciones de numerador uno y por lo tanto se veían obligados a reducir toda fracción a la suma de estas.

Este método, con otros mejores, fueron posteriormente adquiridos por los  griegos. Es sabido que los maestros griegos enviaban a sus discípulos a recorrer las tierras egipcias a fin de nutrirse de los conocimientos que estos poseían en el campo de las ciencias.

En todo el papiro aparecen descomposiciones de una fracción como la representada anteriormente, algunas de estas son correctas y otras falsas. De esto se deduce que no hay un procedimiento general para hacer tales descomposiciones, lo que evidencia que también usaban el tanteo en algunas situaciones. El documento también presenta tablas, entre ellas hay una de descomposiciones de todas las fracciones de la forma 2/2n-1 comprendidas entre el 1 y el 49.Es decir todas las fracciones de denominador impar desde 2/3  2/97.

 

Los chinos y las fracciones

 

Los chinos conocían muy bien las operaciones con fracciones ordinarias, hasta el punto de hallar el mínimo común denominador de varias fracciones. Como era su costumbre asignaban un rol femenino y otro masculino a los elementos que componen la fracción. Se referían al numerador como “el hijo” y al denominador como “ la madre”. El énfasis generalizado en toda la cultura china sobre los principios del ying y el yang hacia fácil seguir las reglas para manipular fracciones. Más importante que estas curiosidades era, no obstante, la tendencia a la decimalización de las fracciones en China.  La adopción de un sistema decimal en pesos y medidas dio como resultado que se impusiera el hábito decimal en el manejo de las fracciones..

 

Los babilónicos en la noción de fracción

 

Los babilónicos eran muy expertos en cálculos. Ellos usaron un sistema mixto en la lectura numérica(posicional y aditivo) y en la base ( 60 y 10).

La base 60 dificultaba la memorización de las tablas y por ello editaron gran número de tablas. De estas tablas se deducen que  la división entre dos enteros acostumbraban a presentarla como la multiplicación de un entero por una fracción, recurriendo al inverso.

 

La organización de los pueblos a partir del S. XVI

 

 

A fines del 1500 de la era cristiana había surgido la necesidad de hacer cálculos en todos los pueblos. Era la época en que se desarrolla la industria de los metales, la cerámica, los tejidos; era la época en que las primeras máquinas daban lugar a una gran producción; época de los primeros bancos. Hacer cálculos ya no era un lujo, debía convertirse en el patrimonio de todos. Pero no se podía enseñar a todos el manejo de las fracciones, ni se podía pretender, en esos tiempos, que también el más simple empleado supiese verificar al final de su jornada que la paga recibida era exacta, debiendo hacer cálculos con una moneda, cuyo submúltiplo era el sueldo y el dinero que recibía era una fracción de éste. Surge  así la noción primitiva del número decimal.

El punto, como signo de separación entre las unidades enteras y decimales, aparece por primera vez en la Aritmética  del italiano Pellos(1492), pero solamente para separar cifras del dividendo, cuando el divisor terminaba en cero. Los primeros vestigios de la coma decimal datan del 1560. simón Stevin en 1585 publicó un librito sobre la escritura de los números decimales tratando de hacer comprender cual era la utilidad de esa escritura que evitaba tener que hacer cálculos con fracciones y explicó lo sencillo que era realizar las cuatro operaciones fundamentales de la aritmética con ellos.

Juan Napier, un gran aristócrata escocés que vivió entre 1550 y 1617, introdujo la coma decimal como elemento de separación tan usual entre los pueblos latinos.  No obstante los pueblos de habla inglesa en algún momento han incorporado el puntito en lugar de la coma.

 

 

Fundamentación pedagógica

 

Desde el momento en que los egipcios valoraron la necesidad de incorporar las fracciones la matemática ha transitado la búsqueda de la precisión y la exactitud.

En el ámbito educativo esta búsqueda pretende atravesar el camino de la estimación que permita:

q    Predecir situaciones probables

q    Valorar la razonabilidad de los resultados.

q    Proponer respuestas aproximadas de manera rápida cuando son más convenientes que las exactas o éstas no se pueden emitir.

q    Conjeturar, resolver, valorar, modificar y

q    Facilitar el sistema de numeración y la comprensión de la medida.

 

 

El abordaje

 

 

Para introducir con éxito la noción de fracción y construir el concepto y luego establecer la operatividad es necesario destacar  que no se debe enseñar aisladamente sino que hay que considerar los contenidos trabajados con anterioridad en los números naturales y considerar los saberes previos que poseen los alumnos. Para que los alumnos puedan entender cuál es el sentido y la función de las fracciones es necesario plantearles situaciones en que éstas adquieran distintos significados. Resulta muy enriquecedor plantear actividades donde el alumno  adquiera gradualmente los significados que esta adquiere. Es decir:

 

q    Como fracción en un reparto.

 

q    Como medida.

 

q    Como parte de un todo discreto.

 

q    Como porcentaje.

 

q    Como razón.

 

 

q    Como probabilidad de que ocurra un suceso.

 

 

 

En el primer y segundo ciclo de la EGB el trabajo con las fracciones y números decimales esta vinculado  con sus usos sociales, como ser situaciones de reparto o de medida.  Esta etapa tiene que estar muy bien trabajada desde lo manipulativo, o sea con muy buen apoyo de materiales concretos y gráficos. No se debe descuidar el calculo mental con fracciones sencillas y la estimación de resultados. Una vez que los alumnos aprendieron las fracciones de uso cotidiano se desarrollará lo relativo a los otros significados.

Existen en los textos de didáctica de la Matemática una gran variedad de propuestas para trabajar  situaciones de reparto y medida. No obstante es interesante incorporar  juegos que los niños consideren atractivos, entre los cuales se encuentran los naipes.

 En los países de habla hispana el juego de los naipes esta muy enraizado y contienen una serie de elementos matemáticos muy importantes, que se pueden poner más de manifiesto con algunas variaciones. Teniendo en cuenta los juegos más populares, podemos ver que en todos ellos hay uno o varios de los aspectos siguientes:

q    Calculo de probabilidades.

q    Recuento de posibilidades.

q    Clasificaciones.

q    Ordenaciones.

q    Operaciones aritméticas.

 

 

Si potenciamos algunos de los elementos mencionados anteriormente, tendremos, con las mismas reglas o muy parecidas, juegos de cartas con unos componentes muy interesantes para los alumnos y para el aprendizaje de la matemática.

A modo de ejemplo consideremos el juego de naipes que se conoce como Escoba de 15, ampliamente difundido, y que consiste esencialmente en retirar cartas de la mesa que sumen 15. Si se cambia la propuesta y el diseño de los naipes en las que las cartas representen fracciones y el objetivo para retirar de la mesa sea que estas sumen 1; se obtiene la escoba fraccionada. Si deseamos hacer clasificaciones, se puede utilizar naipes con cinco representaciones de un mismo número: fracciones, decimales, porcentuales, grafico como parte de una figura y elementos como parte de un conjunto de estos. Así tenemos el juego del chinchón con una variación interesante, y con el se puede jugar  armando tríos- tres cartas que representen lo mismo o una escalera sucesiva creciente o decreciente.

Otra propuesta interesante sería buscar cartas que potencien ciertos conocimientos sobre divisibilidad, múltiplos y divisores que los alumnos tienen que manejar rápidamente al momento de trabajar con fracciones.

Cuando se trabaja sobre contenidos vinculados a la medida y el sistema decimal considerando las relaciones y el orden entre las diferentes unidades del sistema métrico se pueden diseñar cartas para jugar en escaleras o tríos o cuartetos.

Seguramente cada docente encontrará otras variaciones a partir de estas. Pero en el fondo al tomar este tipo de estrategia para abordar la enseñanza es importante no perder de vista estas dos cuestiones:

¿Por qué utilizar matemática recreativa?

 

¿Para qué hacerlo?

 

Hay varios aspectos a considerar entre los que se pueden apuntar:

 

q    La introducción de elementos lúdicos como motivación.

q    La matemática recreativa como recurso para la práctica de rutinas y el trabajo sobre conceptos.

q    La resolución de recreaciones como reto individual.

q    Las recreaciones y los juegos para la práctica de los procedimientos propios de la resolución de problemas.

q    La resolución de juegos matemáticos y la cooperación, frente a la práctica de los juegos y la competición.

 

 

El Trabajo áulico

 

 

Para finalizar se representa la propuesta de una actividad lúdica con naipes. Los docentes pueden hacer una variación de las mismas y ajustar el juego a los objetivos que desea alcanzar con los alumnos. Para la confección de los naipes se puede armar el diseño sobre una hoja de dibujo Nº 6. Luego fotocopiar, plastificar y proceder al corte de los naipes. Esto es sólo una sugerencia dado que los docentes siempre encuentran gran variedad de materiales para armar sus recursos de acuerdo a las posibilidades económicas y temporales.

 

Escoba fraccionada

 

Objetivo:

 

¨        Potenciar la operatividad de la suma de fracciones.

 

¨        Visualizar la representación gráfica del mecanismo de la suma de fracciones.

 

¨        Potenciar el calculo mental.

 

 

Materiales

 

Juego de naipes compuesto por 48 cartas distribuidas de la siguiente forma:

 

9 cartas con la fracción 1/12

 

6 cartas con cada una de las fracciones 1/6,  ¼,  1/3.

 

3 cartas de cada una de las fracciones  5/12,1/2, 7/12, 2/3,3/4, 5/6, 11/12.

Las cartas deben tener indicada la fracción y un gráfico que la represente.

Reglas del Juego

 

Se reparten las cartas.Cada jugador recibe dos cartas y se dejan otras 4 más boca arriba sobre la mesa.

Por turno, cada jugador tiene que conseguir que entre una de sus cartas y una o varias de las que hay sobre la mesa sumen la unidad.

Si el jugador levanta todas las cartas de la mesa hizo escoba. Si el jugador no puede levantar o no hay cartas sobre la mesa, tendrá que dejar una sobre ésta y pasar.

Cuando los jugadores hayan empleados sus dos cartas se distribuye otra tanda y en el reparto de la ultima tanda si sobra alguna carta se la deja en la mesa.

Al finalizar se cuentan las escobas y la cantidad de cartas Por cantidad de cartas sé da un puntaje y por escobas otro. Gana el que mayor puntaje obtuvo.

 

 

De ser esta la posibilidad la carta del jugador y las ubicadas sobre la mesa suman 1

 

 

 

1/12+1/4+5/12+1/6+1/12 = 1

 

 

 

Bibliografía:

 

 

Colección didáctica de matemáticas Elementales de J. Rey Pastor

 

Problemas a Mí-Corbalán Fernando, Gairín José Marí- Madrid-Edinumen.

 

Apuntes personales realizados en la Estancia Investigativa en la Universidad de Zaragoza-España.

 

 

 

Nancy Ross

 

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