Lo que sustenta la multiplicación y División entera de Números naturales.

 

 

Algo de historia

 

 

Los babilónicos fueron de lo más infatigables copiladores de tablas aritméticas que registra la historia. A ellos le era más fácil multiplicar que dividir. Tabulaban adaptando a base 60 que era la que ellos preferían. De esto se deduce que este pueblo 2000 a.c. eran expertos calculadores.

Los egipcios que alcanzaron un gran nivel en su manipulación aritmética demostraron que esta era esencialmente aditiva, es decir, que la multiplicación y la división las reducían, tal como lo hacen los niños y las calculadoras digitales a una serie de adiciones y sustracciones. El único multiplicador que utilizaban en raras ocasiones fue el 2.

Los griegos ordenaron el brillante cúmulo de rompecabezas numéricos y  geométricos pero el proceso rector de estos fue la multiplicación y no la división. El carácter dual del alfabeto griego ejerció también un efecto retardatorio en el desarrollo calculista dado que su alfabeto no sólo representaba sonidos sino que además es el símbolo del número. Esto también ocurría con los hebreos. La teoría dice que tanto griegos como hebreos deben sus sistemas a los fenicios.

La introducción de los números arábigos fue un paso fundamental para el calculo pero muy poco se adelantó en lo referente al algoritmo de la multiplicación y al desarrollo de la división  entera de números naturales.

Con la introducción de las primeras pizarras y las primeras tizas de material pizarroso, la gente empezó a resolver cálculos en forma más generalizada. Las tablas de multiplicación primero se escribían y luego se aprendían como un conjunto. Pero la división se utilizaba rara vez en estas épocas, excepto si se trataba de divisiones pequeñas. En el siglo XV se utilizaba para dividir el método de la tachadura y el método actual, denominado división larga comenzó precisamente en ese siglo. Por primera vez se publicó en Florencia en 1941 un año antes de la llegada de Colon a América.

En Sudamérica, aparentemente mucho antes de que los europeos  llegasen allí, los nativos del Perú y de otros países usaron cuerdas anudadas  en sus cálculos y dominaban elementales formas multiplicativas a partir de cierta complejidad aditiva..

 

 

La operatoria en la Multiplicación y en la División.

 

 

La construcción de la multiplicación como una operatoria necesaria se realiza entre el 2do y 3er año de la escolaridad básica(EGB), es decir a partir de los 8 años de edad. Esta construcción se afianza en la práctica del calculo en cuarto año y se espera que sea optima al finalizar el segundo ciclo. El alumno debería ingresar al tercer ciclo sin dificultades en las operatorias multiplicativas, sabiéndolas resolver en combinación con las adiciones y sustracciones y con el empleo de signos de agrupación.

Junto con las multiplicaciones se puede presentar la división. En el segundo año se comienza a dividir; en el tercero se completa y se prepara el camino para empezar en el cuarto  año la división con dos cifras, al principio con la resta explicita y luego sin ella. Se espera que al finalizar el primer ciclo el alumno pueda dividir correctamente con una cifra  y con la conclusión del segundo ciclo el problema de la división en su aspecto operatorio quede resuelto.

Esta pretensión permitiría a los alumnos llegar a los años superiores con la habilidad y seguridad necesaria en las operaciones fundamentales con Números Naturales.

 

 

Dificultades en la operatoria de Multiplicación y División de Números Naturales

 

La multiplicación exige entre otros tópicos el aprendizaje memorístico previo d las tablas, lo que no siempre consiguen los alumnos, por lo que es habitual que multipliquen consultándolas. Este procedimiento dispersa su atención, lentifica la ejecución y corta la continuidad en la realización de la operatoria aritmética.

La división incluye en sí misma todas las operaciones: adición, sustracción y multiplicación, por lo que sí existen dificultades para la realización de esta, es obvio que la combinación de todas incrementa la complejidad, hasta el punto de que algunos alumnos no logran acceder más que a las divisiones sencillas de cantidades pequeñas, sobre todo en el divisor.

 

Funcionalidad de la multiplicación y división de Números Naturales

 

 

Cuando el alumno comprende el significado de las operaciones puede transferirlo a situaciones nuevas y solucionar las cuestiones que se plantean. Es decir que el alumno tiene que ser consciente de que el hecho de realizar correctamente  una operación no se agota o termina ahí, sino que precisamente le facilita la resolución de sus problemáticas cotidianas.

Junto con la compresión y aplicación de las operaciones el alumno tiene que conseguir su mecanización. Cada operación tiene su propia estructura, direccionalidad y automatismo que es imprescindible aprender para conseguir la precisión y exactitud del cálculo.

 

Situaciones que sustentan las operaciones de Multiplicación y División entera de Números Naturales.

 

 

Así como las operaciones aritméticas  de suma y resta se constituyen inicialmente para abreviar los  recuentos o procesos de medida, se puede decir que la multiplicación y división entera constituyen un medio de abreviar determinados procesos de suma y resta cuando se plantea la necesidad de sumar o restar repetidamente o repartir equitativamente una cantidad entre cierto número de elementos.

La clasificación de las situaciones de sustento se hace con relación al papel que desempeñaran las cantidades que intervienen en las operaciones. Estas pueden tomar valores de:

Estado: cuando expresan el cardinal de conjunto o la medida de magnitud.

Razón: cuando expresan cociente entre las cantidades de magnitud.

Comparación: cuando expresan el número de veces que una cantidad de magnitud esta contenida en otra.

 

 

En la multiplicación se puede reconocer diferentes situaciones:

 

 

1.     Como Razón

 

Un auto recorre doce kilómetros  en dos horas ¿cuál es su velocidad?

Magnitud 1: longitud--------12 Km

Magnitud 2: tiempo----------2 h.

Razón: velocidad------------- 6 km/h

 

  1. Como Comparación

 

 

Una mina de lápiz mide 4 cm de largo y un lápiz mide 3 veces más que la mina ¿cuánto mide el lápiz?

 

 

Objeto 1: 4 cm

 

Objeto 2: 3 veces más que el objeto 1

 

Objeto 2: 3 veces 4 cm = 12 cm

 

 

  1. Como combinación

 

 

Tengo 3 tarjetas rojas y varias azules y se pueden formar 6 combinaciones posibles.

¿Cuántas tarjetas azules hay?

Las situaciones en la que todas las cantidades  que intervienen son razones o comparaciones se pueden a su vez clasificar en:

 

 

 

1)      Conversión de razones

 

 

 

Se han preparado varias cajas y en cada una hay 5 bolsitas y en cada bolsita hay 6 bolitas ¿cuántas bolitas hay en la caja?

 

 

 

 

 

 

R 12: 5 bolsas por caja-------1 caja = 5 bolsas

 

R23: 6 bolitas por bolsa------30 bolitas en 5 bolsas

 

R13:30 bolitas por caja

 

2)      Conversión de Comparaciones

 

Ruth tiene una cantidad de bolitas. Amaranta tiene 4 veces más que Ruth y Zulma 5 veces más que  Amaranta ¿Cuántas veces más bolitas tiene Zulma que Ruth?

 

 

C12: bolitas de Amaranta: 4 veces las bolitas de Ruth

 

C23: bolitas de Zulma: 5 veces las bolitas de Amaranta

 

C13: bolitas de Zulma: 5 veces las 4 veces de bolitas de Ruth

 

                                     20 veces las bolitas de Ruth.

 

 

 

 

 

La lista de variables de las situaciones multiplicativas puede ser Cardinales o medidas.

Mientras que el rol de los números puede ser estados, razones o comparaciones.

 

 

Construcción de las operaciones de Multiplicación y división entera de  Números Naturales

 

 

La experiencia d las operaciones de multiplicación y división entera se puede construir a partir de:

 

La definición d los hechos numéricos-----tablas de multiplicación.

Establecimiento de las propiedades de dichas operaciones.

Técnicas de cálculos orales y escritos.

La identificación de las situaciones en las que el uso de dichas operaciones es pertinente.

 

Todo esto requiere un costo adicional de memoria. Es importante diferenciar que las operaciones de suma y resta pueden realizarse con números concretos de una especie. En cambio en la multiplicación se supone ya una clase que representa la repetición. En la división basamos la idea en la repetición o repartición, es decir desmenuzando una cantidad en  cierto número de partes iguales. En la multiplicación y división se trabaja con números  concretos de dos especies.

 

 

 

Las estrategias pueden ser:

q      sumas reiteras,

q      restas reiteradas

q      repartir

q      resta en tabla

q      computar términos

q      multiplicar en vez de dividir

q      sumar o restar el multiplicando

q      calcular dobles o medios

q      calcular con los dedos

q      otras alternativas

 

Las técnicas orales pueden ser:

 

q      Conmutar términos

q      Suprimir o añadir ceros

q      Descomponer números en sumandos o sustraendos.

q      Factorizar.

 

 

Las técnicas escritas pueden ser:

 

q      Descripción de algoritmos

q      Justificación de algoritmos.

q      Algoritmos extendidos.

q      Duplicaciones.

q      Dobleces y mitades

 

 

El trabajo Áulico

 

 

Para el trabajo áulico y siguiendo la línea de la actividad lúdica presentada en el artículo anterior se propone una actividad con naipes para trabajar los conceptos de múltiplos y divisores.

 

 

Objetivos:

 

Ø       Practicar los conceptos de múltiplo y divisor.

Ø       Manejar el concepto de divisor común a dos números.

Ø       Utilizar los conceptos de m.c.m y m.c.d

Ø       Desarrollar el cálculo mental.

Ø       Introducir los restos potenciales.

 

 

 

Materiales:

Un juego de naipes formado por 51 cartas.

48 con los números desde el 1 al 48.

3 comodines; cada uno de los comodines servirá por el valor que quiera su poseedor en cada jugada.

 

 

 

Reglas del juego:

 

En este juego no se utilizaran los comodines:

 

Intervienen un número variable de jugadores, pero es aconsejable que sean entre 4 y 6.

 

Se reparen las cartas a cada jugador y se descubre una boca arriba, es la carta muestra.

El resto de las cartas se dejan  baca abajo encima de la mesa.

Empieza l juego el jugador situado a la derecha del que haya repartido, que coloca una carta al lado de la carta muestra, y en horizontal con ella por cualquiera de los dos lados, siempre que la que coloque tenga un divisor común con ella(y dice cuál es  al hacerlo).También puede colocarla hacia arriba, si es múltiplo de la carta muestra, o hacia abajo, si es un divisor.

 

Si no tienen ninguna carta que satisfaga las condiciones, roba del montón y la pone si puede y sino pasa el turno a su compañero de la derecha.

 

El jugador siguiente procede igual que el anterior, pero puede hacerlo con cualquiera de las dos cartas que hay en los extremos de la cadena: la carta muestra y la carta que ha puesto el anterior.

Cada uno de los jugadores a continuación puede proceder de la misma forma con las dos cartas que sean extremos de la cadena horizontal en ese momento.

 

Gana el que primero se descarte o el que menos cartas tenga en el momento que se acabe el montón de cartas sobre la mesa.

 

Si la carta muestra que aparece es un número primo, las dificultades de colocar cartas son mayores. Por eso, en ese caso, se pueden poner debajo de la carta muestra, y tapados por ella, cartas que representen números que sean también primos.

 

 

Este juego se puede modificar o reprogramar y queda a criterio de cada docente si lo considera oportuno.

Nancy Ross

 

Bibliografía:

 

Alekssndrov, A, D.La matemática: Su contenido, método y significado. 3 tomos. Madrid. Editorial Alianza

Fernández Baroja y otros. Ejercicios de recuperación de cálculo. Madrid. CEPE.

Gattegno C. Aritmética  con número en color. Madrid. Editorial Cuisenaire.

Volver a Experiencias Educativas